상태공간 모델과공진점 분석 이론

PSS/E Small-Signal & Resonance Analysis

PSS/E 상태공간 모델과
공진점 분석 이론

PSS/E 동특성 모델을 선형 상태공간 모델로 표현하고, 고유치·참여계수·레지듀·주파수응답을 이용해 전력계통의 진동 모드와 공진점을 분석하는 데 필요한 기초 이론을 정리한다.

조류계산 운전점 → 동적모델 선형화 → 상태공간 \(A,B,C,D\) → 고유치·모드 분석 → 주파수응답 → 공진점 판별

목차

1. 전체 개요
2. 비선형 DAE 모델
3. 선형화와 상태공간식
4. 고유치와 자연진동 모드
5. 고유진동수와 공진점
6. 입력·출력의 영향
7. 레지듀
8. 모드 형상과 참여계수
9. 전력계통의 주요 모드
10. PSS/E 분석 절차
11. 자주 발생하는 오해
12. 핵심 정리

1. 전력계통은 원래 비선형 DAE 시스템이다

발전기, 여자기, 조속기, PSS와 전력망을 함께 표현하면 전력계통은 일반적으로 미분방정식과 대수방정식이 결합된 DAE, Differential-Algebraic Equation 시스템이 된다.

\[ \dot{x}=f(x,y,u) \] \[ 0=g(x,y,u) \] \[ z=h(x,y,u) \]

기호	의미	전력계통 예시
\(x\)	동적 상태변수	회전자각 \(\delta\), 속도 \(\omega\), 내부전압, AVR·조속기·PSS 상태
\(y\)	대수변수	버스 전압 크기와 위상각, 전류, 유효·무효전력
\(u\)	외부 입력 또는 제어입력	\(V_{\mathrm{ref}}\), 기계출력 기준값, 부하변동, 전력주입
\(z\)	관측 출력	발전기 속도, 전력조류, 버스 주파수, 전압, 발전기 출력

운전점의 중요성
PSS/E 조류계산 결과와 동특성 초기화 결과가 선형화 기준점이 된다. 따라서 발전량, 부하 수준, 송전선 구성, AVR·PSS 설정이 바뀌면 상태행렬과 진동 특성도 달라질 수 있다.

2. 운전점에서 선형화하면 상태공간식이 나온다

정상상태 운전점을 \((x_0,y_0,u_0)\)라고 하고, 각 변수의 작은 변동을 다음과 같이 정의한다.

\[ \Delta x=x-x_0,\qquad \Delta y=y-y_0,\qquad \Delta u=u-u_0 \]

비선형 방정식을 운전점 주변에서 테일러 전개하고 1차항까지만 남기면 다음의 선형화 방정식을 얻는다.

\[ \Delta\dot{x} = f_x\Delta x+f_y\Delta y+f_u\Delta u \] \[ 0= g_x\Delta x+g_y\Delta y+g_u\Delta u \]

\(g_y\)가 비특이행렬이라고 가정하면 대수변수 \(\Delta y\)를 제거할 수 있다.

\[ \Delta y= -g_y^{-1}(g_x\Delta x+g_u\Delta u) \]

이를 동적 방정식에 대입하면 다음의 상태방정식을 얻는다.

\[ \Delta\dot{x}=A\Delta x+B\Delta u \] \[ A=f_x-f_yg_y^{-1}g_x \] \[ B=f_u-f_yg_y^{-1}g_u \]

출력방정식까지 포함한 최종 상태공간 모델은 다음과 같다.

\[ \boxed{ \begin{aligned} \Delta\dot{x}&=A\Delta x+B\Delta u\\ \Delta z&=C\Delta x+D\Delta u \end{aligned}} \]

행렬	물리적 의미
\(A\)	계통 내부의 고유 동특성과 상태 간 상호작용
\(B\)	입력이 각 상태 또는 모드를 얼마나 가진하는가
\(C\)	각 상태 또는 모드가 선택한 출력에서 얼마나 관측되는가
\(D\)	입력에서 출력으로 즉시 전달되는 직접 전달 성분

핵심
고유모드 자체는 주로 \(A\)행렬로 결정되지만, 특정 입력에 대한 실제 공진 크기는 \(B\), \(C\), \(D\)까지 포함해 판단해야 한다.

3. 고유치가 계통의 자연진동 모드다

상태행렬 \(A\)의 고유치는 다음 특성방정식을 만족한다.

\[ \det(\lambda I-A)=0 \]

복소 고유치가 다음 형태라고 하자.

\[ \lambda_i=\sigma_i\pm j\omega_i \]

해당 모드는 시간영역에서 대략 다음과 같이 나타난다.

\[ e^{\sigma_i t}\cos(\omega_i t+\phi) \]

안정도 판별

• \(\sigma_i<0\): 진동이 시간에 따라 감소하므로 안정
• \(\sigma_i=0\): 감쇠되지 않는 지속 진동
• \(\sigma_i>0\): 진동이 증가하므로 불안정

모드 주파수

\[ \boxed{f_i=\frac{|\omega_i|}{2\pi}} \]

감쇠비

\[ \boxed{ \zeta_i= \frac{-\sigma_i} {\sqrt{\sigma_i^2+\omega_i^2}} } \]

감쇠 시간상수

\[ \tau_i=\frac{1}{|\sigma_i|} \]

PSS/E 출력의 부호 규약 확인
일부 PSS/E 분석 출력에서는 감쇠값을 \(\sigma_i/\sqrt{\sigma_i^2+\omega_i^2}\) 형태로 표시해 안정한 모드가 음수로 나타날 수 있다. 사용 중인 버전과 분석 모듈의 정의를 반드시 확인해야 한다.

계산 예시

고유치가 다음과 같다고 가정한다.

\[ \lambda=-0.2\pm j4.0 \] \[ f\approx\frac{4.0}{2\pi}=0.637\ \mathrm{Hz} \] \[ \zeta\approx \frac{0.2}{\sqrt{0.2^2+4.0^2}} \approx 5.0\% \] \[ \tau=5\ \mathrm{s} \]

즉 약 \(0.64\ \mathrm{Hz}\)로 진동하며, 감쇠비가 약 \(5\%\)인 비교적 약하게 감쇠된 모드이다.

4. 고유진동수와 공진점은 구분해야 한다

고유치는 계통 자체가 가진 자연진동 모드를 나타낸다. 반면 공진은 외부에서 주기적인 입력이 들어올 때 특정 주파수에서 출력이 크게 증폭되는 현상이다.

상태공간 모델의 전달함수는 다음과 같다.

\[ \boxed{ G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D } \]

정현파 입력에 대한 주파수응답은 \(s=j\Omega\)를 대입해 계산한다.

\[ G(j\Omega)=C(j\Omega I-A)^{-1}B+D \]

SISO 시스템에서 공진점은 일반적으로 \(|G(j\Omega)|\)가 국부적으로 최대가 되는 주파수로 정의할 수 있다.

\[ \boxed{ f_{\mathrm{res}} = \underset{f}{\operatorname{arg\,max}} \left|G(j2\pi f)\right| } \]

왜 두 주파수가 정확히 같지 않을 수 있는가

표준 2차 시스템의 공진주파수는 다음과 같다.

\[ \omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2} \]

감쇠비가 충분히 작으면 \(\omega_r\approx\omega_n\)이므로 공진점이 고유치 허수부에 해당하는 주파수 근처에서 나타난다. 그러나 일반적으로 두 값은 정확히 일치하지 않는다.

5. 같은 계통이라도 입력과 출력에 따라 공진이 다르게 보인다

같은 \(A\)행렬을 사용하더라도 다음 전달경로는 서로 다른 특성을 가진다.

\[ \frac{\Delta\omega_1}{\Delta V_{\mathrm{ref},1}}, \qquad \frac{\Delta P_{\mathrm{tie}}}{\Delta V_{\mathrm{ref},1}}, \qquad \frac{\Delta V_{\mathrm{bus}}}{\Delta P_{\mathrm{load}}} \]

어떤 모드가 계통 내부에 존재하더라도, 선택한 입력이 그 모드를 충분히 가진하지 못하거나 선택한 출력에서 해당 모드가 잘 관측되지 않으면 Bode 선도에 큰 공진 피크가 나타나지 않을 수 있다.

공진 위험이 커지는 조건
작은 감쇠 + 높은 입력 가제어성 + 높은 출력 관측성

6. 레지듀가 공진 피크의 핵심이다

오른쪽 고유벡터와 왼쪽 고유벡터를 각각 다음과 같이 정의한다.

\[ Av_i=\lambda_i v_i \] \[ w_i^TA=\lambda_i w_i^T \]

전달함수는 모드별 부분분수 형태로 전개할 수 있다.

\[ G(s) = D+ \sum_i \frac{R_i}{s-\lambda_i} \]

모드 \(i\)의 레지듀는 다음과 같다.

\[ \boxed{ R_i= \frac{Cv_iw_i^TB} {w_i^Tv_i} } \]

항	의미
\(w_i^TB\)	입력이 모드 \(i\)를 얼마나 강하게 가진하는가
\(Cv_i\)	모드 \(i\)가 선택한 출력에서 얼마나 크게 관측되는가
\(R_i\)	해당 입력–출력 전달경로에서 모드 \(i\)가 미치는 전체 영향

공진 위험이 큰 모드
일반적으로 감쇠비가 작고 레지듀 크기 \(|R_i|\)가 큰 모드가 특정 전달경로에서 큰 공진 피크를 만든다.

7. 모드 형상과 참여계수

모드 형상, Mode Shape

오른쪽 고유벡터 \(v_i\)는 해당 모드가 각 상태변수에 어떤 크기와 위상으로 나타나는지를 보여준다.

• 같은 위상의 발전기들은 함께 움직이는 경향이 있다.
• 약 \(180^\circ\) 위상 차이가 있는 발전기 그룹은 서로 반대 방향으로 진동한다.
• 이를 통해 지역모드와 지역 간 모드를 구분할 수 있다.

참여계수, Participation Factor

\[ \boxed{ p_{ki}=v_{ki}w_{ik} } \]

참여계수는 상태 \(k\)가 모드 \(i\)에 얼마나 관련되는지를 나타낸다. 이를 이용하면 어떤 발전기, AVR, 조속기, PSS 상태가 특정 모드에 크게 참여하는지 확인할 수 있다.

참여계수와 레지듀의 차이
참여계수는 계통 내부의 상태–모드 관계를 나타낸다. 특정 입력–출력 전달경로에서 나타나는 공진 크기는 참여계수보다 레지듀가 더 직접적인 지표이다.

8. 전력계통에서 자주 보는 모드

모드	주요 특징
지역모드	한 발전기 또는 한 발전소가 주변 계통에 대해 진동
지역 간 모드	한 발전기 그룹이 다른 지역 발전기 그룹과 반대 방향으로 진동
제어기 모드	AVR, governor, PSS 등 제어기 파라미터와 관련된 진동
비진동 모드	실수 고유치로 나타나는 느린 제어응답 또는 단조 불안정
비틀림 모드	터빈–발전기 축계의 기계적 진동과 관련

대규모 연계계통의 지역 간 전기기계 진동은 흔히 저주파 영역에서 나타난다. 다만 모드 종류를 주파수만으로 단정해서는 안 되며, 모드 형상과 참여계수를 함께 확인해야 한다.

9. PSS/E 분석 절차와 이론의 대응

1. 조류계산과 동특성 초기화
   정상상태 운전점과 동적모델 초기조건을 확보한다. 초기화가 불량하면 선형화 결과도 신뢰하기 어렵다.
2. 상태공간 모델 생성
   PSS/E 동특성 모델을 운전점 주변에서 선형화해 \(A,B,C,D\) 또는 이에 준하는 선형 모델을 구성한다.
3. \(A\)행렬 고유치 계산
   각 모드의 실수부, 주파수, 감쇠비를 계산한다.
4. 중요 모드 선별
   양의 실수부를 가진 모드, 감쇠비가 작은 모드, 관심 주파수 대역의 모드를 우선 확인한다.
5. 참여계수와 모드 형상 분석
   어떤 발전기와 제어상태가 중요 모드에 크게 참여하는지 찾는다.
6. 입력과 출력 선택
   예를 들어 \(u=\Delta V_{\mathrm{ref},k}\), \(z=\Delta\omega_k\) 또는 \(z=\Delta P_{\mathrm{tie}}\)로 정의한다.
7. 주파수응답 계산
   \(G(j2\pi f)=C(j2\pi fI-A)^{-1}B+D\)를 계산하고 크기응답의 국부 최대점을 찾는다.
8. 시간영역 검증
   공진주파수 부근의 작은 정현파 입력 또는 작은 외란을 적용해 PSS/E 동특성 시뮬레이션 결과와 선형모델 결과를 비교한다.

MIMO 시스템의 공진 분석

다입력·다출력 시스템에서 계통 전체의 최대 증폭을 보려면 전달함수 행렬의 최대 특이값을 사용할 수 있다.

\[ \bar{\sigma}\left(G(j\omega)\right) \]

10. 실무에서 자주 발생하는 오해

“고유치 허수부만 계산하면 공진점이다.”

허수부는 자연진동 주파수를 나타낸다. 실제 공진점은 감쇠와 입력·출력 전달경로에 따라 달라진다.

“감쇠비가 가장 작은 모드가 항상 가장 큰 피크를 만든다.”

감쇠가 작더라도 선택한 입력으로 잘 가진되지 않거나 출력에서 잘 관측되지 않으면 공진 피크가 작을 수 있다.

“참여계수가 크면 공진 크기도 크다.”

참여계수는 상태와 모드의 관계를 나타낸다. 특정 입력–출력 전달경로의 공진 크기는 레지듀가 더 직접적이다.

“한 운전점에서 찾은 공진점은 항상 유지된다.”

부하, 발전량, 계통 구성, 제어기 설정이 바뀌면 \(A\)행렬과 전달함수가 바뀌므로 공진점도 이동할 수 있다.

“모델에 포함되지 않은 동특성도 분석 결과에 나타난다.”

상태공간 모델에 포함되지 않은 현상은 분석할 수 없다. 저주파 전기기계 진동, SSR, 축 비틀림, 고조파 공진은 필요한 모델과 주파수 범위가 서로 다르다.

11. 핵심 정리

고유치 \(\lambda_i\) 자연진동수, 안정도, 감쇠비를 결정한다.

모드 형상과 참여계수 어떤 발전기와 상태가 해당 모드에 관련되는지 보여준다.

레지듀 \(R_i\) 특정 입력–출력 경로에서 모드가 얼마나 강하게 나타나는지 보여준다.

주파수응답 \(G(j\omega)\) 실제 공진 피크와 공진주파수를 확인하는 직접적인 도구이다.

최종 개념
\(A\)행렬의 고유치로 위험한 자연모드를 찾고, \(B\)와 \(C\)를 포함한 전달함수와 레지듀로 실제 입력–출력 경로의 공진점을 확인한다.

분석 대상 주파수 범위를 먼저 구분해야 한다.
\(0.1\sim2\ \mathrm{Hz}\) 부근의 전기기계 진동을 찾는 것인지, 수십 Hz 이상의 SSR·축 비틀림·고조파 공진을 찾는 것인지에 따라 필요한 동적모델과 해석 방법이 달라진다.

참고자료

1. Siemens, PSS®E Small Signal Stability Analysis
2. DiVA Portal, 전력계통 모달 분석 및 상태공간 관련 학술자료

PSS/E 상태공간 및 공진점 분석 이론 정리